Konsep dan Notasi Dasar
Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.Contoh 1
Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
a) 13 adalah bilangan ganjil.
b) 1 + 1 = 2.
c) 8 akar kuadrat dari 8 + 8.
d) Ada monyet di bulan.
e) Hari ini adalah hari Rabu.
f) Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka 2n adalah bilangan genap.
g) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.
Contoh 2
Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi
(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
(b) Isilah gelas tersebut dengan air!
(c) x + 3 = 8
(d) x > 3
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka 2n adalah bilangan genap.
r : 2 + 2 = 4
- TABEL KEBENARAN
Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang memuat nilai
kebenaran proposisi majemuk. Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh
nilai kebenaran proposisi-proposisi pembangunnya. Jika kalimat majemuk yang
akan kita buat tabel kebenarannya memuat n proposisi tunggal, maka jumlah
komposisi nilai kebenarannya ada 2n. Berikut ini adalah tabel kebenaran dari
operator-operator logika dasar.
Simbol
|
Arti
|
Bentuk
|
-
|
Tidak / Not / Negasi
|
tidak…
|
∧
|
Dan / And / Konjungsi
|
…dan…
|
∨
|
Atau / Or / Disjungsi
|
…atau…
|
⇒
|
Implikasi
|
Jika…maka…
|
⇔
|
Biimplikasi
|
…jika dan hanya jika…
|
p
|
q
|
-p
|
-q
|
p ∨ q
|
p ∧ q
|
p ⇒ q
|
p ⇔ q
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
- TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah
Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk
membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang
digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua
pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1][1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka
Tini pergi kuliah.
Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur,
maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi
ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika
1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
( (1) A → B (Premis)
(2) C → B (premis)
(3) (A V C) → B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ÊŒ (C → B)) → ((A V C) → B
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ÊŒ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
Contoh tautologi dengan
menggunakan tabel kebenaran:
1.
(p ʌ ~q) p
Pembahasan:
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel
kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya
bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
2.
[(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
p
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1) (2) (3) (4) (5)
Berdasrkan tabel
diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan
perkataan lain, pernyataan majemuk
[(p q) ʌ p] p q selalu benar
Pembuktian dengan
cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian
dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh:
a.
(p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q
~p v ~q v q
~p v T
T .............(Tautologi)[3][3]
Dari pembuktian
diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena hasilnya T (true)
atau benar.
Pembuktian dengan
menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu:
P
|
q
|
(p ʌ q)
|
(p ʌ q) q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas
nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q merupakan
Tautologi.
b.
q (p v q)
penyelesaian:
q
(p v q) ~q v (p v q)
~q v (q v p)
T v p
T ............(Tautologi)
B. KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah
kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai
contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam
segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu
pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama
dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara
kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan
sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4][4]
Contoh dari
Kontradiksi:
1.
(A ʌ ~A)
Pembahasan:
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran
diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
2.
P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel
kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan
bernilai salah (F).
C. Ekuivalensi Logika
Dua atau lebih pernyataan majemuk
yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk
dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai
kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:
1.
Hukum komutatif:
p ʌ q q ʌ p
p v q q v p
2.
Hukum asosiatif:
(p ʌ q) ʌ r p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v r p v (q v r)
3.
Hukum distributif:
p ʌ (q v r) (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) (p v q) ʌ (p v r)
4.
Hukum identitas:
p ʌ T p
p v F p
5.
Hukum ikatan (dominasi):
P v T T
P v F F
6.
Hukum negasi:
P v ~p T
P ʌ ~p F
7.
Hukum negasi ganda (involusi):
~(~p) p
8.
Hukum idempoten:
P ʌ p p
p v p p
9.
Hukum de morgan:
~( p ʌ q) ~p v ~q
~(p v q) ~p ʌ ~q
10. Hukum penyerapan (absorpsi):
p v (P ʌ q) p
P ʌ (p v q) p
11. Hukum T dan F:
~T F
~F T
12. Hukum implikasi ke and/or:
Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat
tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel
kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan
memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.
Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang
kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:
1.
Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) ~p
Jawab:
~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)
~p ʌ (q v ~q)
~p ʌ T
~p ...........(terbukti)
2.
Tunjukkan bahwa: ~(p v q) (~p ʌ ~q)
Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p v q
|
~(p v q)
|
(~p ʌ ~q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
B
B
S
|
S
S
S
B
|
S
S
S
B
|
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Jadi, ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Aljabar Proposisi
Hukum-Hukum Aljabar Proposisi (Aturan Penggantian)
Setiap
proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara
satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan
penggantian untuk keperluan deduksi.
1. Hukum Idempoten (Idem)
a. p∨q ek p
b. p∧p ek p
2. Hukum Asosiatif (As)
a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
3. Hukum Komutatif (Kom)
a. p∨q ek q∨p
b. p∧q ek q∧p
4. Hukum Distributif (Dist)
a. p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
b. p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)
5. Hukum Identitas (Id)
a. p∨F ek p
b. p∨T ek T
c. p∧F ek F
d. p∧T ek p
6. Hukum Komplemen (Komp)
a. p∨∼p ek T
b. p∧∼p ek F
c. ∼(∼p) ek p
d. ∼T ek F
7. Hukum Transposisi (Trans)
p⇒q ek ∼q⇒∼p
8. Hukum Implikasi (Imp)
p⇒q ek ∼p∨q
9. Hukum Ekivalensi (Eki)
a. p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
b. p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)
10. Hukum Eksportasi (Eksp)
(p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)
11. Hukum De Morgan (DM)
a. ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
b. ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q
Contoh:
Buktikanlah bahwa:
a. ∼(p⇒q)ek p∧∼q
b. (p∧q)⇒p ek T
c. ∼[p⇒(p∨q)] adalah kontradiksi
Penyelesaian:
a. ∼(p⇒q)ek ∼(∼p∨q)
ek ∼p∧∼q
ek p∧∼q
b. (p∧q)⇒p ek ∼(p∧q)∨p
ek (∼p∨∼q)∨p
ek (∼p∨p)∨∼q
ek T ∨ ∼q
ek T
c. ∼[p⇒(p∨q)] ek ∼[∼p∨(p∨q)]
ek ∼[(∼p∨p)∨q]
ek ∼(T ∨ q)
ek ∼T
ek F
Catatan:
Untuk membuktikan:
a. Apakah dua proposisi ekivalen
b. Suatu proposisi tautologi/kontradiksi dapat dilakukan dengan dua cara:
1) dengan menggunakan tabel kebenaran
2) dengan menggunakan aturan penggantian (bukti formal) - Implikasi (proposisi bersyarat)
dengan notasi “”.
Notasi p q dapat dibaca :
1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p
Tabel kebenaran implikasi
p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
B. Contoh Implikasi
• Contoh ke-1
p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p _ q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.
Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p>q, ialah proposisi yang bernilai salah
jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.
Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa) dan proposisi q disebut konsekuen(konklusi/kesimpulan).
• Contoh ke-2
a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.
b. Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri
Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi.
DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q”
disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan
p q
Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).
Sumber :
dina_indarti.staff.gunadarma.ac.id/.../Proposisi.pdf
