Himpunan dan Bilangan

Pengertian, Penulisan dan Macam Himpunan

A.      PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas  atau sekumpulan objek yang mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara anggota-anggotanya.

Contoh himpunan:

-          Kumpulan kata dalam kamus

-          Kumpulan buku dalam perpustakaan

Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:

1.       Setiap objek dapat dibedakan dari yang satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.

2.       Dapat dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang bukan.

Contoh:

Umum:  - himpunan mahasiswa ikip pgri bali yang namanya mulai dari huruf A.

         -himpunan binatang berkaki 2

`       -ilmu geometri berhubungan dengan matematika yang berhubungan dengan titik.

 

                Khusus: - himpunan bilangan positif

                                 -himpunan bilangan real yang x≤5004

                                 -himpunan asli yang 2 <x<60

ü Lambang himpunan biasa ditulis sebagai berikut: “A” = {    }

                ɛ = elemen / unsur

B.      MENYATAKAN ATAU MENULIS  SUATU HIMPUNAN

1.       Cara pendaftaran

Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.

Contoh : - himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18,

ditulis B= {0,1,2,3,...}

 -himpunan binatang berkaki 4, ditulis B= {sapi,babi,anjing,...}

2.       Cara pencirian

Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.

Contoh: - himpunan bilangan real  yang 2,005<x≤10,11

                        Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi  R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}

 -himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}

C.      JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN

                Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= kardinal.

                Contoh :

1.       A= {a,i,u,é,o,e}

“N(A)”= 6

2.       B= {-2,-1,0,1,2,3,4}

“N(A)”=7

D.      MACAM-MACAM HIMPUNAN

1.       Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol himpunan kosong

i.                     {       }

ii.                   Ф atau Ǿ

Contoh : - himpunan nama hari yang diawali huruf z

                -himpunan bilangan bulat 4<x<5

        Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}

2.       Himpunan Bagian

Jika A adalah himpunan, B juga himpunan  maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan  A dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.

Simbol : “C”

Contoh :

1.       A={1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi  ACB

2.       D={0,1,2,3,4}

E={0,1,2,3,4}

Jadi DCE merupakan himpunan bagian biasa.

3.     Himpunan Bagian Sejati

Jika A adalah suatu himpunan dan B juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam himpunan A.

Contoh :

1.       A= {1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi ACB adalah himpunan bagian sejati

4.    Himpunan berhingga

Suatu himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga  banyaknya. Biasanya untuk menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.

Contoh :

1.       A=himpunan bilangan bulat positif < 2000

Jadi A={0,1,2,3,4,...,1999}

5.    Himpunan Tak Berhingga

Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal  dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.

Contoh:

1.       Himpunan bilangan asli

Jadi A= {1,2,3,...}

2.       Himpunan bilangan bulat

Jadi B={...,-2,-1,0,1,2,3,...}

6.    Himpunan Semesta(S)

Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.

Contoh :

1.       A= himpunan garis yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

B= Himpunan suatu kurva yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

Jadi himpunan semesta adalah kumpulan titik-titik pada suatu bidang datar

7.    Himpunan Complument ( Ac)

Jika S adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka Ac adalah suatu himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.

8.    Himpunan Bersandi

Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi  dari himpunan B jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.

Contoh ;

1.       A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

B= {5,7,9,11,13,15,17}

Jadi A bersandi B= {5,7,9}

9.    Himpunan Lepas

Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling bersekutu.

Contoh:

1.       A = {x/x bilangan ganjil}

B = {x/x bilangan genap}

Jadi A himpunan lepas B

10. Himpunan Sama

Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.

Contoh :

1.       A={a,i,u,e,o}

B={u,e,o,a,i}

Jadi A=B

2.       C={0,1,2,3,4,5,6}

D= {Himpunan Bilangan bulat positif yang kurang dariu dan sama dengan 6}

Jadi C=D

11. Himpunan Sederajat

Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.

Contoh ;

1.       A={a,b,c,d,e,f,g}

B={0,1,2,3,4,5,6}

N(A)= 7

N(B)=7

N(A)=N(B)

Jadi A sederajat dengan B

Sumber : http://ani-kurnia.blogspot.com/2011/07/belajar-himpunan.html

 

 

 

Menyajikan Operasi Himpunan dalam Diagram Venn

Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn.

Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan P  Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar di bawah ini.

Gmbar 1.
Daerah yang di arsir merupakan P irisan Q 

Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menunjukkan daerah P  Q. 

Adapun daerah arsiran pada Gambar di bawah menunjukkan daerah P  Q.

Gambar 2.
Daerah yang diarsir merupakan P gabungan Q

Berdasarkan diagram Venn di di atas, tampak bahwa P  Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}.

Agar anda lebih memahami cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, perhatikan contoh berikut.

Diketahui S = {0, 1, 2, ..., 15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.

a. P  Q  R

b. P  Q

c. Q  R

d. P  (Q  R)

e. Q^C 

f. P – R

Penyelesaian:

Diketahui:

S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan

R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui

bahwa P  Q  R = {2}

P  Q = {1, 2, 5}

Q  R = {2, 10}

P  R = 2, 4, 6}

Diagram Venn-nya sebagai berikut

Gambar 3.
Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R

a. Daerah arsiran pada diagram Venn di bawah menunjukkan himpunan P  Q  R.

Gambar 4.
Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R

b. Daerah arsiran di di bawah menunjukkan himpunan P  Q. Tampak bahwa P  Q = {1, 2, 5}.

Gambar 5.
Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q 

c. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di bawah menunjukkan himpunan Q  R. Dari gambar dapat diketahui bahwa Q  R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14}.

Gambar 6.
Daerah yang diarsir merupakan Q gabungan R

d. Dari soal dapat diketahui bahwa Q  R = {2, 10}, sehingga P  (Q  R) = {1, 2, 3, ..., 6}  {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada diagram Venn di bawah ini menunjukkan daerah P  (Q R).

Gambar 7.
Daerah yang diarsir merupakan P gabungan dari Q irisan R

e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, sehingga Q^C = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan Q^C.

Gambar 8
Daerah yang diarsir merupakan komplemen Q

f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5}. Diagram Venn-nya sebagai berikut.

Gambar 9.
Daerah yang diarsir merupakan P selisis R